DE3825891A1 - Verfahren zum entwurf einer gekruemmten flaeche - Google Patents

Verfahren zum entwurf einer gekruemmten flaeche

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Kiyotaka Kato
Takashi Okamoto
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    • G05B—CONTROL OR REGULATING SYSTEMS IN GENERAL; FUNCTIONAL ELEMENTS OF SUCH SYSTEMS; MONITORING OR TESTING ARRANGEMENTS FOR SUCH SYSTEMS OR ELEMENTS
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Description

Die Erfindung betrifft ein Verfahren zum Entwurf einer gekrümmten Fläche, die für die Darstellung einer gekrümmten Fläche und das Schneiden einer gekrümmten Fläche in einem CAD/CAM-System (rechnerunterstütztes Entwurfssystem/rechnerunterstütztes Fertigungssystem) verwendet wird, das in einem Personalcomputer, einem Konstruktionsarbeitsplatz, einer numerisch gesteuerten Werkzeugmaschine oder dergleichen verwendet wird.
Bekannte Entwurfsverfahren für eine gekrümmte Fläche betrafen im allgemeinen vierseitige Flächen, wie beispielsweise eine gekrümmte Coons-Fläche, eine gekrümmte Bezier-Fläche und dergleichen, wobei eine gekrümmte Fläche mit vier Seiten entworfen wird. Als Verfahren zum Entwurf eines dreiseitigen gekrümmten Flächenstückes ist beispielsweise ein Verfahren vorhanden, wie es von Fujio Yamaguchi in "Shape Processing Technology II", The Nikkan Kogyo Shinbun Ltd., 28. Dezember 1982, Seiten 61 bis 66, beschrieben wird.
Als Verfahren zum Entwurf dreiseitiger, fünfseitiger und sechsseitiger gekrümmter Flächenstücke ist ein Verfahren bekannt nach Hiroaki Chiyokura, "Solid Modeling", Kogyo Chosakai Publishing Co., Ltd., 30. April 1985, Seiten 109 bis 118.
Das erstgenannte Verfahren betrifft ein Verfahren, bei welchem ein rechteckförmiges Stück zusammengezogen, sowie ein Verfahren, bei welchem eine gekrümmte Fläche durch drei Parameter (u, v, w) entworfen wird.
Das letztgenannte Verfahren betrifft ein Verfahren, bei welchem ein polygonales Stück durch mehrere rechteckförmige Stücke (PT 1, PT 2, PT 3, PT 4, PT 5) gebildet wurde.
Bei derartigen bekannten Entwurfsmethoden für eine gekrümmte Fläche, wie sie vorausgehend beschrieben wurden, wird hauptsächlich ein rechteckförmiges Stück verwendet, und ein Verfahren, das sich auf ein dreiseitiges, gekrümmtes Flächenstück oder ein fünf- oder mehrseitiges, gekrümmtes Flächenstück bezieht, hat einen Algorithmus, der nur für eine dreiseitige, gekrümmte Fläche wirksam ist, oder ein weiteres Verfahren ist ein kompliziertes Verfahren, bei welchem ein polygonales Stück aus rechteckförmigen Stücken zusammengesetzt ist.
Die Erfindung ist darauf abgestellt, die vorausgehenden Schwierigkeiten zu überwinden und es liegt ihr die Aufgabe zugrunde, ein Verfahren zum Entwurf einer polygonalen, gekrümmten Fläche mit drei oder mehr Seiten in einfacher Weise und mit hoher Geschwindigkeit zu schaffen.
Ein Verfahren zum Entwurf einer gekrümmten Fläche gemäß der vorliegenden Erfindung umfaßt folgende Schritte:
einen ersten Schritt zur Eingabe von Randformdaten von n Seiten einer gekrümmten Fläche, wobei n eine ganze Zahl oberhalb 3 ist; einen zweiten Schritt zur Erzielung eines regelmäßigen n-seitigen Polygons in einem Parameterraum auf der Basis der gegebenen Daten von n Seiten; einen dritten Schritt zur Berechnung von Abstandsparametern auf der Basis des regulären n-seitigen Polygons, das im zweiten Schritt erhalten wurde; einen vierten Schritt zur Berechnung von Übergangswerten auf der Grundlage der Abstandsparameter; einen fünften Schritt zur Abbildung eines inneren Punktes (P) des regelmäßigen n-seitigen Polygons auf die jeweiligen Seiten zur Berechnung von Begrenzungsparametern; einen sechsten Schritt zur Berechnung mindestens eines der dreidimensionalen Koordinatenpunkt, und, falls erforderlich, Tangentenvektoren an Seiten, die Begrenzungen der gekrümmten Fläche auf der Grundlage der Begrenzungsparameter sind; und einen siebten Schritt zur Berechnung willkürlicher Punkte auf der gekrümmten Fläche auf der Grundlage der Abstandsparameter, der Übergangswerte, der dreidimensionalen Koordinatenpunkte der jeweiligen Seiten, und, falls erforderlich, der Tangentenvektoren der jeweiligen Seiten.
Die eingangs genannte Aufgabenstellung wird erfindungsgemäß durch ein Verfahren zum Entwurf einer gekrümmten Fläche gelöst, das durch folgende Schritte gekennzeichnet ist:
einen ersten Schritt zur Eingabe von Randformdaten der Seiten einer polygonalen, gekrümmten Fläche;
einen zweiten Schritt zur Erzielung eines regulären n-seitigen Polygons in einem zweidimensionalen Parameterraum entsprechend der Anzahl n der eingegebenen Seiten, wobei n eine ganze Zahl oberhalb 3 ist;
einen dritten Schritt zur Erzielung von Senkrechten, ausgehend von einem willkürlichen Punkt innerhalb eines regulären n-seitigen Polygons auf dessen Seiten oder auf verlängerte Linien der jeweiligen Seiten in einem zweidimensionalen Parameterraum, entsprechend der Anzahl n der eingegebenen Seiten;
einen vierten Schritt zur Erzielung der Länge der Senkrechten zwischen dem Punkt und den jeweiligen Seiten als Abstandsparameter;
einen fünften Schritt zur Erzielung von Übergangswerten, die den Wert 1 auf einer laufenden Seite und den Wert 0 auf den anderen Seiten bezüglich der jeweiligen Seiten annehmen, die zwischen dem Wert 0 und dem Wert 1 innerhalb des regulären n-seitigen Polygons stetig interpoliert werden, und wobei partielle Differentialwerte nach den Abstandsparametern an den jeweiligen Seiten Null werden;
einen sechsten Schritt zur Abbildung des Punktes auf die jeweiligen Seiten und zur Erzielung von Verhältnissen als Begrenzungsparameter, an denen die abgebildeten Punkte die jeweiligen Seiten teilen;
einen siebten Schritt zur Bildung dreidimensionaler Koordinatenwerte und Werte der Tangentenvektoren an den jeweiligen Seiten auf der Grundlage der Begrenzungsparameter; und
einen achten Schritt zur Berechnung von Punkten an der gekrümmten Fläche auf der Grundlage der Abstandsparameter, der Übergangswerte, der dreidimensionalen Koordinatenwerte und der Tangentenvektoren.
In den Zeichnungen zeigen:
Fig. 1 und 2 Ablaufdiagramme zum Einsatz des erfindungsgemäßen Verfahrens zur Erzeugung einer gekrümmten Fläche;
Fig. 3 eine Aufbaudarstellung einer NC-Werkzeugmaschine, bei welcher das erfindungsgemäße Verfahren verwendet wird;
Fig. 4 eine Darstellung zur Erläuterung des Falles, bei welchem eine ebene Kurve in die Eingabevorrichtung für die Daten der gekrümmten Fläche eingegeben wird;
Fig. 5 eine Darstellung zur Erläuterung des Falles, in welchem eine Raumkurve (iS) in gleicher Weise wie gemäß Fig. 4 eingegeben wird;
Fig. 6 eine Darstellung zur Erläuterung des Falles, bei welchem sechs Seiten einer Randform einer gekrümmten Fläche eingegeben werden;
Fig. 7 eine Darstellung zur Erläuterung des Falles, bei welchem ein laufender Werkzeugort in Gestalt einer Spirale in einem Parameterraum erzeugt wird;
Fig. 8 eine erläuternde Darstellung, die die Ausgabe des Nullpunktes in einem Parameterraum zeigt;
Fig. 9 eine Darstellung zur Erläuterung eines Verfahrens zur Berechnung von Abstandsparametern bei einem regulären Sechseck;
Fig. 10 eine Darstellung zur Angabe der Form einer Übergangsfunktion (blending function) (Ba) in drei Dimensionen;
Fig. 11a und 11b erläuternde Darstellungen eines Algorithmus in der Stufe (P 5-3) in Fig. 2;
Fig. 12 eine Darstellung zur Erläuterung der Verarbeitung eines polygonalen, gekrümmten Flächenstückes;
Fig. 13 eine Aufbauanordnung eines Kathodenstrahlröhren-Bildschirms, bei dem das erfindungsgemäße Verfahren verwendet wird;
Fig. 14 eine Darstellung zur Erläuterung eines Beispiels, bei welchem dreidimensionale Koordinatenwerte und Tangentenvektoren jeweiliger Seiten durch Steuerpunkte ausgedrückt werden, um dadurch eine gekrümmte Fläche zu erzeugen; und
Fig. 15 eine Darstellung, die den Stand der Technik angibt.
Bevorzugte Ausführungsformen der Erfindung werden unter Bezugnahme auf die anliegenden Zeichnungen im einzelnen beschrieben.
Die Fig. 1 und 2 sind Ablaufdarstellungen zur Durchführung des erfindungsgemäßen Verfahrens zum Entwurf einer gekrümmten Fläche.
In Fig. 1 stellt (P 1) einen Eingabeschritt für die Daten der gekrümmten Fläche dar. Beispielsweise werden in einem Fall, wo das Verfahren in einer NC-Werkzeugmaschine, die beispielsweise in Fig. 3 angegeben ist, ausgeführt wird, Daten bezüglich einer Randform, die eine gekrümmte Fläche eines Gegenstandes bildet und, falls erforderlich, Daten bezüglich von Tangentenvektoren in der Randform der gekrümmten Fläche unter Verwendung einer Dateneingabevorrichtung (D 1) eingegeben. Als Randformdaten der gekrümmten Fläche kann beispielsweise eine ebene Kurve, wie eine Verbindungslinie, die aus geradlinigen Linien und kreisförmigen Bogen aufgebaut ist, die sich gemäß Fig. 4 in der gleichen Ebene befinden, eingegeben werden, oder eine Raumkurve, wie beispielsweise eine Bezier-Kurve mit Steuerpunkten (CP 1, CP 2, CP 3, CP 4, CP 5) gemäß Fig. 5.
Die gesamte Randform der gekrümmten Fläche wird bestimmt, indem mehrere ebene Kurven oder mehrere Raumkurven gemäß Fig. 8 kombiniert werden. Beispielsweise werden, um die ebene Kurve gemäß Fig. 4 zu erhalten, dreidimensionale Koordinatenwerte der Punkte (P 1, P 2, P 3, P 4 und P 5) entsprechend den jeweiligen beiden Enden der beiden geradlinigen Linien und zwei Kreisbögen und Radien (r 1, r 2) dieser Kreisbögen als Randformdaten eingegeben, und die Funktion der ebenen Kurve in den dreidimensionalen Koordinaten wird auf der Grundlage der eingegebenen Randformdaten bestimmt.
Fig. 6 ist eine Darstellung zur Erläuterung eines Beispiels eines Falles, bei welchem Daten einer Randform einer gekrümmten Fläche, die sechs Seiten aufweist, eingegeben werden. Das heißt, die Daten der sechs Seiten (fla, flb, flc, fld, fle, flf) der Randform werden eingegeben. Wenn es gewünscht wird, kontinuierlich eine Anzahl gekrümmter Flächen zu verbinden, die festgelegt worden sind, so wird erwogen, die Tangentenvektoren an den Begrenzungen zu steuern, wo die gekrümmten Flächen miteinander verbunden sind. Beispielsweise wird vorgeschlagen, die Richtungen beider Tangentenvektoren an jedem Verbindungspunkt (Begrenzung) in Übereinstimmung miteinander zu bringen. In diesem Fall können die Tangentenvektoren (Da, Db, Dc, Dd, De, Df), die ebenfalls in Fig. 6 angegeben sind, eingegeben werden.
Unter erneuter Bezugnahme auf Fig. 1 stellt (P 2) einen Schritt dar, bei dem die Anzahl der Randformen der gekrümmten Flächen in der vorausgehend beschriebenen Weise eingegeben wird, d. h. die Anzahl der kombinierten, mehreren, ebenen Kurven oder Raumkurven in einer Variablen n gespeichert wird, wobei n eine ganze Zahl ist, die nicht kleiner als 3 ist.
(P 3) in Fig. 1 bildet einen Schritt zur Erzielung eines regulären n-seitigen Polygons in einem zweidimensionalen Parameterraum (U, V). Das regelmäßige n-seitige Polygon ist derart aufgebaut, daß sein Mittelpunkt zum Ursprung (O) im Parameterraum (U, V) kommt, und es wird derart normiert, daß der Abstand zwischen parallelen und einander gegenüberliegenden Seiten gleich 1,0 gemacht wird, wenn n eine gerade Zahl ist, während der Abstand zwischen einer Seite und einem der Seite gegenüberliegenden Punkt (einem Punkt mit größtem Abstand von der Seite) gleich 1,0 gemacht wird, wenn n eine ungerade Zahl ist. Das heißt, die Größe des regelmäßigen n-seitigen Polygons wird derart normiert, daß eine Länge einer Senkrechten von jedem Punkt innerhalb des regulären n-seitigen Polygons zu jeder Seite des regulären n-seitigen Polygons nicht größer als 1,0 ist.
(P 4) in Fig. 1 stellt einen Schritt zur Erzielung eines laufenden Werkzeugortes im Parameterraum (U, V) dar, der Koordinatenpunkte (u, v) nacheinander ausgibt. Fig. 7 ist eine Darstellung, die ein Ausführungsbeispiel zeigt, bei dem ein laufender Werkzeugort (TP) in Form einer Spirale vom Punkt (PLa) zum Ursprung (0) im Parameterraum (U, V) erzeugt wird.
(P 5) in Fig. 1 stellt einen Schritt zur Erzielung dreidimensionaler Koordinatenpunkte (x, y, z) jedes beliebigen Punktes auf einer gekrümmten Fläche auf der Basis der Koordinatenpunkte (u, v) dar. Das Entwurfsverfahren für die gekrümmte Fläche bezüglich dieses Schrittes wird später im einzelnen beschrieben.
(P 6) in Fig. 1 stellt einen Schritt zur Erzeugung eines Werkzeugortes auf der Grundlage der dreidimensionalen Koordinatenpunkte (x, y, z) dar, die im Schritt (P 5) erhalten wurden, um damit eine Werkzeugmaschine zu steuern.
(P 7) stellt einen Schritt zur Beurteilung dar, ob die Ausgabe des Werkzeugortes beendet oder nicht beendet ist. In einem in Fig. 8 angegebenen Beispiel wird entschieden, daß die Ausgabe des Werkzeugortes beendet wurde, wenn die Werte von (u, v) Null werden, d. h. wenn der Werkzeugort am Ursprung ausgegeben wird. Anschließend endet die Verarbeitung.
Fig. 2 ist eine Ablaufdarstellung zur Erläuterung, im einzelnen, des Entwurfverfahrens der gekrümmten Fläche gemäß Schritt (P 5) in Fig. 1.
Gemäß Fig. 2 stellt (P 5-1) einen Abstandsparameterberechnungsschritt zur Berechnung der Längen von Senkrechten von einem gegebenen Koordinatenpunkt (u, v) zu den Seiten eines regelmäßigen n-seitigen Polygons dar, das in einem Parameterraum (U, V) normiert ist.
Fig. 9 ist eine Darstellung eines Verfahrens zur Berechnung der Abstandsparameter im Falle eines regelmäßigen Sechseckes. Das heißt, es werden jeweilige Punkte (Qa, Qb, Qc, Qd, Qe, Qf) von Senkrechten von einem gegebenen Punkt (P(u, v)) zu den jeweiligen Seiten erhalten, und anschließend werden die jeweiligen Längen der Abschnitte (PQa, PQb, PQc, PQd, PQe, PQf) als Abstandsparameter berechnet. Die auf diese Weise erhaltenen Abstandsparameter werden jeweils anschließend durch (a, b, c, d, e, f) dargestellt. Es sei angenommen, daß das reguläre n-seitige Polygon normiert wurde und folgende Bedingung ist immer erfüllt, falls der gegebene Punkt (P(u, v)) im Inneren des regulären n-seitigen Polygons liegt.
0 a, b, c, d, e, f 1
Ferner wird, wenn es unmöglich ist, eine Senkrechte vom Punkt (P) unmittelbar zu einer der Seiten zu ziehen, die Senkrechte vom Punkt (P) zu einer verlängerten Linie jener Seite gezogen. Selbst in diesem Falle soll nicht gesagt werden, daß die Abstandsparameter Werte nicht kleiner als 0 und nicht größer als 1 annehmen.
Unter erneuter Bezugnahme auf Fig. 2 stellt (P 5-2) ein Übergangswertberechnungsverfahren dar, gemäß welchem Übergangswerte zur Erzielung der Mischungsrate der dreidimensionalen Koordinatenwerte der jeweiligen Seiten zwecks Bestimmung der Koordinatenwerte der jeweiligen Seiten der gekrümmten Fläche auf der Grundlage der im Schritt (P 5-1) erhaltenen Abstandsparameter gewonnen werden. Die Übergangswerte (blending values) (Ba, Bb, Bc, Bd, Be, Bf) werden durch folgende Ausdrücke erhalten:
Ba = Φ a/S
Bb = Φ b/S
Bc = Φ c/S
Bd = Φ d/S
Be = Φ e/S
Bf = Φ f/S
wobei
Φ a = (1 - a 2) b 2 c 2 d 2 e 2 f 2
Φ b = (1 - b 2) c 2 d 2 e 2 f 2 a 2
Φ c = (1 - c 2) d 2 e 2 f 2 a 2 b 2
Φ d = (1 - d 2) e 2 f 2 a 2 b 2 c 2
Φ e = (1 - e 2) f 2 a 2 b 2 c 2 d 2
Φ f = (1 - f 2) a 2 b 2 c 2 d 2 e 2
und
S = Φ a + Φ b + Φ c + Φ d + Φ e + Φ f
Fig. 10 ist eine Darstellung zur Erläuterung der Form der Übergangsfunktion (Ba) in drei Dimensionen. Die Funktion nimmt den Wert 1 an der Seite zwischen den Punkten (PLa, PLb) an, d. h. m am Abstandsparameter a=0, und sie nimmt den Wert 0 an den anderen Seiten an, d. h. bei b=0, c=0, e=0 und f=0. Das partielle Differential nach dem Abstandsparameter (a) gibt sich wie folgt:
Wird nunmehr angenommen, daß die Veränderlichen (a, b) unabhängige Veränderliche sind, so sind die anderen Veränderlichen (c, d, e, f) abhängige Veränderliche, und obige Gleichung kann deshalb durch Einsetzung von a=0 erweitert werden, so daß folgendes Ergebnis erhalten wird.
Wird das partielle Differential nach einem Abstandsparameter (i) genommen (wobei (i) ein von (a) unterschiedlicher Abstandsparameter ist) in Betracht gezogen, so ergibt sich
Wird nunmehr angenommen, daß die Veränderliche (i) und eine weitere Veränderliche unabhängige Veränderliche sind und die übrigen Veränderlichen abhängige Veränderliche, und wird obige Gleichung durch Verwendung von i=0 erweitert, so ergibt sich folgendes Ergebnis:
Kurz gesagt, die partiellen Differentiale der Übergangsfunktion (Ba) nach den Abstandsparametern (a, b, c, d, e, f) nehmen den Wert Null in der Lage ein, wo die jeweiligen Abstandsparameter den Wert Null haben. Es soll nicht gesagt werden, daß das gleiche auch bezüglich der Übergangsfunktionen (Bb, Bc, Bd, Be, Bf) festgestellt wird.
Die obigen Gleichungen besagen, daß die partiellen Differentiale der Übergangsfunktionen nach den Abstandsparametern entsprechend den jeweiligen Seiten des regelmäßigen n-seitigen Polygons an den jeweiligen Seiten Null werden.
Somit werden die Übergangswerte (Ba, Bb, Bc, Bd, Be, Bf) entsprechend einem gegebenen Punkt (P(u, v)) im Parameterraum durch das vorausgehend aufgeführte Verfahren erhalten.
Unter erneuter Bezugnahme auf Fig. 2 stellt (P 5-3) einen Begrenzungsparameterberechnungsschritt dar, der ein Verfahren bildet, in dem Punkte der jeweiligen Seiten, die dem Punkt (P) innerhalb des regelmäßigen n-seitigen Polygons in dem zweidimensionalen Parameterraum entsprechen, erhalten werden, und die Begrenzungsparameterwerte jener Punkte werden bezüglich der jeweiligen Seiten berechnet.
Fig. 11 ist eine Darstellung zur Erläuterung eines Algorithmus der Stufe (P 5-3). In Fig. 11 ist das regelmäßige Sechseck (PLa → PLb → PLc → PLd → PLe → PLf) gegeben, sowie der Punkt (P(u, v)). Punkte (Qb, Qf), die, ausgehend vom Punkt (P(u, v)) senkrecht auf die Seiten PLb →PLc und PLf → PLa) benachbart zur Seite (PLa → PLb) gezogen werden, werden erhalten (falls es unmöglich ist, Linien senkrecht auf benachbarte Seiten zu ziehen, werden die Punkte, wie beispielsweise (Q′b, Q′f) auf den jeweiligen verlängerten Linien der benachbarten Seiten erhalten), und ein Begrenzungsparameter (ta) ergibt sich aus folgender Gleichung:
Hinsichtlich der übrigen Seiten werden die Begrenzungsparameter (tb, tc, td, te, tf) jeweils in gleicher Weise erhalten.
Bei geometrischer Betrachtung des vorstehenden Berechnungsverfahrens für die Begrenzungsparameter nimmt jeder Punkt auf einer Geraden, die den Punkt (P) mit einem Punkt (P′) in Fig. 11a verbindet, den gleichen Begrenzungsparameterwert an, und wird an einem Punkt an der Seite (PLa → PLb) abgebildet. Das heißt, jeder Punkt innerhalb des regulären Sechseckes wird auf den jeweiligen Seiten abgebildet.
Die Begrenzungsparameter können gemäß Fig. 11b erhalten werden. Das heißt, ein Punkt (R), an dem ein willkürlicher Punkt (P) innerhalb des regelmäßigen Sechseckes auf die Seite (PLa → PLb) abgebildet wird, wird als Schnittpunkt der Seite (PLa → PLb) mit einer Geraden erhalten, die den Punkt (P) mit einem Schnittpunkt der jeweiligen verlängerten Linien der benachbarten Seiten (PLc → PLb und PLf → PLa) verbindet. Der Begrenzungsparameter (ta) wird aus der nachfolgenden Gleichung erhalten.
Die Begrenzungsparameter (tb, tc, td, te, tf) werden bezüglich der anderen Seiten in gleicher Weise erhalten.
Jeder Punkt innerhalb des regelmäßigen Sechseckes wird beim Verfahren der Fig. 11b in gleicher Weise auf die jeweiligen Seiten abgebildet wie beim Verfahren nach Fig. 11a.
Als nächstes ist (P 5-4) ein Schritt, bei dem der dreidimensionale Koordinatenwert irgendeines Punktes an den jeweiligen Begrenzungsseiten und die Tangentenvektoren an den jeweiligen Seiten auf der Grundlage der im Schritt (P 5-3) erhaltenen Begrenzungsparameter berechnet werden. Wird beispielsweise in einem Fall, wo ein dreidimensionaler Koordinatenwert irgendeines Punktes auf der ebenen Kurve gemäß Fig. 4 auf der Grundlage eines Begrenzungsparameters (t) bestimmt wird, so wird zuerst die gesamte Länge (L) der ebenen Kurve auf der Grundlage der eingegebenen Randformdaten in der vorausgehend beschriebenen Weise bestimmt, zweitens wird die auf diese Weise erhaltene gesamte Länge (L) mit dem Begrenzungsparameter (t) multipliziert, um einen Multiplikationswert (Lt) zu erhalten, und schließlich wird ein dreidimensionaler Koordinatenwert des der Länge (Lt) auf der ebenen Kurve entsprechenden Punktes auf der Grundlage der Funktion der ebenen Kurve bestimmt.
Fig. 4 zeigt ein Ausführungsbeispiel, bei welchem die eingegebenen Randformdaten in Form zweier Geraden und zweier Kreisbögen gegeben sind. Praktisch wird eine Kurve (L) von einem Punkt (P 1) zu einem Punkt (P 5) normiert und in einem Rechner gespeichert. Das heißt, ein Parameter (S 1) nimmt einen Wert innerhalb eines Bereiches von 0 bis 1 an, entsprechend der Strecke vom Punkt (P 1) zum Punkt (P 5). Die Daten werden derart gespeichert, daß ein dreidimensionaler Koordinatenwert auf der Kurve (L) erhalten werden kann, wenn der Parameter (S 1) gegeben ist. Fig. 5 ist eine Darstellung zur Erläuterung der eingegebenen Randformdaten in gleicher Weise wie in Fig. 4, in welcher eine Kurve dargestellt ist, die als Bezier-Kurve bekannt ist. Falls Steuerpunkte (CP 1, CP 2, CP 3, CP 4) gegeben sind, um die Kurve zu definieren, so wird der dreidimensionale Koordinatenwert auf der Kurve (L) erhalten. Wird angenommen, daß die Raumkoordinatenwerte der Steuerpunkte gleich (CP 1, CP 2, CP 3, CP 4) sind, so ergibt sich der Punkt (P(S 1)) aus folgender Gleichung:
P(S 1) = (1 - S 1)³CP 1 + 3(1 - S 1)²S 1 CP 2 + 3(1 - S 1)S 1²CP 3 + S 1³CP 4
Andererseits ist die Anordnung so getroffen, daß die Werte der Tangentenvektoren auch im Rechner erhalten werden können, falls der Parameter (S 1) in gleicher Weise wie vorausgehend aufgeführt, gegeben ist. Die somit erhaltenen, dreidimensionalen Koordinatenwerte und Tangentenvektoren der jeweiligen Seiten werden anschließend jeweils als (Qa, Qb, Qc, Qd, Qe, Qf) sowie (Da, Db, Dc, De, Df) bezeichnet.
Schließlich bezeichnet (P 5-5) in Fig. 2 einen Schritt, in dem Punkte auf der gekrümmten Fläche, ausgehend von den Abstandsparametern (a, b, c, d, e, f), den Übergangswerten (Ba, Bb, Bc, Bd, Be, Bf), den dreidimensionalen Koordinatenwerten (Qa, Qb, Qc, Qd, Qe, Qf) der jeweiligen Seiten, und, falls erforderlich, den Tangentenvektoren (Da, Db, Dc, Dd, De, Df) der jeweiligen Seiten berechnet werden, die in den vorausgehend aufgeführten Schritten (P 5-1, P 5-2, P 5-3, P 5-4) erhalten werden. Ein Punkt (S) auf der gekrümmten Fläche wird wie folgt berechnet:
Fig. 6 ist eine Darstellung obiger Berechnung. Der Koordinatenwert von (S) wird ein gegebener Randkoordinatenwert als Folge der Kennlinie der Übergangsfunktion (Bi). Grund hierfür ist, daß, wenn beispielsweise a=0 ist
Ba = 1, Bb = 0, Bc = 0, Bd = 0, Be = 0, Bf = 0
so daß folgende Gleichung gilt:
S = Qa
und ähnliches gilt ebenfalls für b=0, c=0, d=0, e=0 oder f=0. Andererseits wird der Tangentenvektor im Rand der gekrümmten Fläche durch folgende Gleichung gegeben. Beispielsweise gilt für a=0 folgende Gleichung:
jedoch ist die Beziehung
gültig, so daß der erste Ausdruck obiger Gleichung Null wird. Ist ferner a=0
Ba = 1, Bb = Bc = Bd = Be = Bf = 0
so gilt
In gleicher Weise gilt
Werden somit Randformdaten einer gekrümmten Fläche eingegeben, beispielsweise in eine NC-Werkzeugmaschine gemäß Fig. 3, so daß die gekrümmte Fläche auf der Grundlage der eingegebenen Daten entworfen wird, um einen Werkzeugort auf der Grundlage der entworfenen Daten der gekrümmten Fläche auszugeben, um dadurch die Werkzeugmaschine anzutreiben, so ist es möglich, gemäß Fig. 12 ein gekrümmtes Polygonflächenstück zu schneiden.
Fig. 3 ist eine Aufbaudarstellung einer NC-Werkzeugmaschine, die mit der vorausgehend aufgeführten Entwurfsfunktion für eine gekrümmte Fläche ausgestattet ist. In Fig. 3 stellt (D 1) eine Dateneingabevorrichtung dar, in welche die vorausgehend aufgeführten Festlegungsdaten für die gekrümmte Fläche (beispielsweise Randbegrenzungsdaten zur Festlegung einer gekrümmten Fläche) mittels einer Tastatur, eines Bildschirms einer Kathodenstrahlröhre und dergleichen eingegeben werden. (D 2) stellt eine Zentraleinheit dar (die anschließend als CPU bezeichnet wird) und die mit einem Hauptspeicher (D 3) zusammenwirkt, um die Berechnung des Entwurfes der gekrümmten Fläche auf der Grundlage der angegebenen Festlegungsdaten der gekrümmten Fläche vorzunehmen, damit ein Werkzeugort auf der Grundlage der erzielten gekrümmten Fläche erhalten wird, so daß der Werkzeugort an eine jeweilige Wellenantriebsschaltung (D 4) in der nächsten Stufe zum Antrieb der jeweiligen Wellen ausgegeben wird. Eine Werkzeugmaschine (M) wird durch das Ausgangssignal der jeweiligen Wellenantriebsschaltung (D 4) angetrieben, so daß die gekrümmte Fläche in der vorausgehend beschriebenen Weise geschnitten werden kann. Obgleich bei der vorausgehend aufgeführten Ausführungsform als Gleichung für die gekrümmte Fläche
als Gleichung für eine gekrümmte Fläche verwendet wird, kann die Gleichung für die gekrümmte Fläche ohne Eingabe des Tangentenvektors (Di) wie folgt ausgedrückt werden:
Obgleich mehrere gekrümmte Flächen stetig kombiniert werden können, falls der Tangentenvektor berücksichtigt wird, kann die letztgenannte Gleichung für die gekrümmte Fläche in dem Fall verwendet werden, wo keine derartige Forderung vorliegt. Darüber hinaus können für die letztgenannte Gleichung die Übergangsfunktionen (Ba, Bb, Bc, Bd, Be, Bf) in folgender Weise ausgedrückt werden (wobei auf Fig. 8 Bezug genommen wird).
Ba = Φ a/S, Bb = Φ b/S, Bc = Φ c/S,
Bd = Φ d/S, Be = Φ e/S, Bf = Φ f/S,
wobei
Φ a = (1-a) b c d e f
Φ b = (1-b) c d e f a
Φ c = (1-c) d e f a b
Φ d = (1-d) e f a b c
Φ e = (1-e) a b c d e
und
S = Φ a + Φ b + Φ c + Φ d + Φ e + Φ f
Obgleich die Beschreibung bezüglich eines Falles gemacht wurde, bei welchem bei der vorausgehend aufgeführten Ausführungsform die Anzahl der Seiten gleich 6 ist, ist die Erfindung nicht auf diese Ausführungsform beschränkt, sondern umfaßt den allgemeinen Fall einer gekrümmten Fläche, die durch (n3) gebildet wird.
Außer mit einer Werkzeugmaschine eignet sich die Erfindung zur Verwendung zur Entwurfsplanung mittels eines Bildschirms (SC) einer Kathodenstrahlröhre und eines Bildschirmsteuergerätes (D 5) gemäß Fig. 13 in solcher Weise, daß eine gekrümmte Fläche auf dem Bildschirm der Kathodenstrahlröhre dargestellt wird. In der Fig. 13 bezeichnen (D 1, D 2, D 3) die gleichen Teile wie in Fig. 3.
Ferner können die dreidimensionalen Koordinatenwerte und die Tangentenvektoren der jeweiligen Seiten durch Verwendung der Steuerpunkte gemäß Fig. 14 ausgedrückt werden. In Fig. 14 wird beispielsweise die Form (P) der Seite (fla) mit einem Parameter (t) (0 t 1) mittels nachfolgender Gleichung unter Verwendung der Steuerpunkte (CP 1, CP 2, CP 3, CP 4) ausgedrückt.
P = (1-t)³ CP 1 = 3(1-t)²t CP 2 + 3(1-t)t² CP 3 + t³ CP 4
Der Tangentenvektor an der Seite (fla) wird durch nachfolgende Gleichung in gleicher Weise angegeben.
D = (1-t)³ (CP 32-CP 1) + 3(1-t)² (CP 21-CP 2) + 3(1-t)t² (CP 22-CP 3) + t³ (CP 23-CP 4)
Bezüglich der anderen Seite (flb, flc, fld, fle, flf) wird die Form und der Tangentenvektor jeder Seite durch Steuerpunkte in gleicher Weise ausgedrückt, so daß der Entwurf einer gekrümmten Fläche auch erzielt wird, indem diese als Daten für das erfindungsgemäße Verfahren verwendet werden.
Wie vorausgehend beschrieben wurde, kann das erfindungsgemäße Entwurfsverfahren für eine gekrümmte Fläche entsprechend den gegebenen Daten der n Seiten ein reguläres n-seitiges Polygon in einem Parameterraum liefern, die Abstandsparameter, die Übergangswerte und die Begrenzungsparameter berechnen, und eine gekrümmte Fläche auf der Grundlage der berechneten Daten erzeugen, so daß es möglich ist, ein Polygon mit einem gekrümmten Flächenstück in einfacher Weise und mit hoher Geschwindigkeit zu erhalten.

Claims (15)

1. Verfahren zum Entwurf einer gekrümmten Fläche, gekennzeichnet durch folgende Schritte:
einen ersten Schritt zur Eingabe von Randformdaten der Seiten einer polygonalen, gekrümmten Fläche;
einen zweiten Schritt zur Erzielung eines regulären n-seitigen Polygons in einem zweidimensionalen Parameterraum entsprechend der Anzahl n der eingegebenen Seiten, wobei n eine ganze Zahl oberhalb 3 ist;
einen dritten Schritt zur Erzielung von Senkrechten, ausgehend von einem willkürlichen Punkt (P) innerhalb eines regulären n-seitigen Polygons auf dessen Seiten oder auf verlängerte Linien der jeweiligen Seiten in einem zweidimensionalen Parameterraum, entsprechend der Anzahl n der eingegebenen Seiten;
einen vierten Schritt zur Erzielung der Länge der Senkrechten zwischen dem Punkt (P) und den jeweiligen Seiten als Abstandsparameter;
einen fünften Schritt zur Erzielung von Übergangswerten, die den Wert 1 auf einer laufenden Seite und den Wert 0 auf den anderen Seiten bezüglich der jeweiligen Seiten annehmen, die zwischen dem Wert 0 und dem Wert 1 innerhalb des regulären n-seitigen Polygons stetig interpoliert werden, und wobei partielle Differentialwerte nach den Abstandsparametern an den jeweiligen Seiten Null werden;
einen sechsten Schritt zur Abbildung des Punktes (P) auf die jeweiligen Seiten und zur Erzielung von Verhältnissen als Begrenzungsparameter, an denen die abgebildeten Punkte die jeweiligen Seiten teilen;
einen siebten Schritt zur Bildung dreidimensionaler Koordinatenwerte und Werte der Tangentenvektoren an den jeweiligen Seiten auf der Grundlage der Begrenzungsparameter; und
einen achten Schritt zur Berechnung von Punkten an der gekrümmten Fläche auf der Grundlage der Abstandsparameter, der Übergangswerte, der dreidimensionalen Koordinatenwerte und der Tangentenvektoren.
2. Verfahren zum Entwurf einer gekrümmten Fläche nach Anspruch 1, dadurch gekennzeichnet, daß der erste Schritt ferner einen Schritt zur Eingabe von Tangentenvektoren auf den genannten Seiten umfaßt.
3. Verfahren zum Entwurf einer gekrümmten Fläche nach Anspruch 1, dadurch gekennzeichnet, daß jeder der Begrenzungsparameter auf den jeweiligen Seiten ein Verhältnis zwischen Abstandsparametern der beiden, benachbart einer laufenden Seite liegenden Seiten, ist.
4. Verfahren zum Entwurf einer gekrümmten Fläche nach Anspruch 1, dadurch gekennzeichnet, daß jeder der Begrenzungsparameter auf jeweiligen Seiten ein Verhältnis ist, mit welchem ein Punkt (R) auf einer laufenden Seite diese laufende Seite unterteilt, und der Punkt (R) als Schnittpunkt zwischen der laufenden Seite und einer Geraden definiert ist, die den Punkt (P) und einen Schnittpunkt zwischen verlängerten Linien der beiden Seiten, benachbart der laufenden Seite, verbindet.
5. Verfahren zum Entwurf einer gekrümmten Fläche nach Anspruch 1, dadurch gekennzeichnet, daß die dreidimensionalen Koordinatenwerte und die Werte der Tangentenvektoren durch Steuerpunkte ausgedrückt werden.
6. Verfahren zum Entwurf einer gekrümmten Fläche nach Anspruch 1, dadurch gekennzeichnet, daß das Verfahren ferner folgende Schritte umfaßt:
einen neunten Schritt zur Erzeugung eines Werkzeugortes in dem zweidimensionalen Parameterraum; und
einen zehnten Schritt zur Berechnung eines Ortes auf der gekrümmten Fläche auf der Grundlage des Werkzeugortes und zur Berechnung eines realen dreidimensionalen Werkzeugortes auf der Grundlage dieses Ortes.
7. Verfahren zum Entwurf einer gekrümmten Fläche nach Anspruch 6, dadurch gekennzeichnet, daß der erste Schritt ferner einen Schritt zur Eingabe der Tangentenvektoren auf den Seiten umfaßt.
8. Verfahren zum Entwurf einer gekrümmten Fläche nach Anspruch 6, dadurch gekennzeichnet, daß jeder der Begrenzungsparameter auf den jeweiligen Seiten ein Verhältnis zwischen Abstandsparametern der beiden Seiten ist, die benachbart einer laufenden Seite liegen.
9. Verfahren zum Entwurf einer gekrümmten Fläche nach Anspruch 6, dadurch gekennzeichnet, daß jeder der Begrenzungsparameter auf den jeweiligen Seiten ein Verhältnis ist, mit welchem ein Punkt (R) auf einer laufenden Seite diese laufende Seite unterteilt, daß der Punkt (R) als Schnittpunkt zwischen der laufenden Seite und einer Geraden definiert wird, die den Punkt (P) und einen Schnittpunkt zwischen verlängerten Linien der beiden Seiten verbindet, die benachbart zur laufenden Seite liegen.
10. Verfahren zum Entwurf einer gekrümmten Fläche nach Anspruch 6, dadurch gekennzeichnet, daß die dreidimensionalen Koordinatenwerte und die Werte der Tangentenvektoren durch Steuerpunkte ausgedrückt werden.
11. Verfahren zum Entwurf einer gekrümmten Fläche nach Anspruch 1, dadurch gekennzeichnet, daß das Verfahren ferner folgende Schritte umfaßt:
einen neunten Schritt zum Zeichnen und Darstellen der erhaltenen gekrümmten Fläche auf einem Bildschirm; und
einen zehnten Schritt zur Herstellung eines Werkzeugortes in dem zweidimensionalen Parameterraum.
12. Verfahren zum Entwurf einer gekrümmten Fläche nach Anspruch 11, dadurch gekennzeichnet, daß der erste Schritt ferner einen Schritt zur Eingabe von Tangentenvektoren auf den Seiten umfaßt.
13. Verfahren zum Entwurf einer gekrümmten Fläche nach Anspruch 11, dadurch gekennzeichnet, daß jeder der Begrenzungsparameter auf den jeweiligen Seiten ein Verhältnis zwischen Abstandsparametern der beiden neben einer laufenden Seite liegenden Seiten ist.
14. Verfahren zum Entwurf einer gekrümmten Fläche nach Anspruch 11, dadurch gekennzeichnet, daß jeder der Begrenzungsparameter auf den jeweiligen Seiten ein Verhältnis ist, mit welchem ein Punkt (R) auf einer laufenden Seite diese laufende Seite unterteilt, und der Punkt (R) als ein Schnittpunkt zwischen dieser laufenden Seite und einer Geraden definiert ist, die den Punkt (P) und einen Schnittpunkt zwischen verlängerten Linien der beiden Seiten, die benachbart zur laufenden Seite liegen, verbindet.
15. Verfahren zum Entwurf einer gekrümmten Fläche nach Anspruch 11, dadurch gekennzeichnet, daß die dreidimensionalen Koordinatenwerte und die Werte der Tangentenvektoren durch Steuerpunkte ausgedrückt werden.
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